Função Modular

Por Emanuel Jaconiano e Thiago Salvador

Professores de Matemática do Colégio Q

MÓDULO

Para entender função modular - tema que cai nos vestibulares e no Enem - devemos compreender o que é módulo. Em seguida, através de exercícios, resolveremos algumas equações modulares e falaremos sobre a função modular: o que muda ao inserirmos um módulo à função?

Módulo

Antes de falar da função modular, vamos relembrar a definição e como calcular o módulo de um número. O módulo é a distância de um determinado número até o zero. Por exemplo, o módulo de 13 é a distância entre o 13 e o 0. Para nos deslocarmos do 13 ao 0, andaremos 13 unidades. Portanto, o módulo de 13 é igual a 13. Ou ainda: |13| = 13. Sendo assim, qual será o módulo de -13? Bem, a distância do -13 ao zero é também de 13 unidades. Então, |-13| = 13. 

Vejamos alguns outros exemplos:

|-4| = 4
|690| = 690
|23,41| = 23,41
|-log2| = log2
|78| = 78
|-π| = π

Você já deve perceber que existe uma certa regra para calcularmos: todos os números que são positivos, continuam positivos; e todos da forma negativa, tornam-se positivos. Ou seja:

|x| = x, se x for positivo.
|-x|, se x for negativo ou usando a linguagem matemática: 

|x| = x, se x>0
|x| = -x, se x<0

EXEMPLOS

Resolva a equação |x² - 6x| = 9.

Para que o módulo dê resultado 9, é porque o valor dentro do módulo é igual a 9 ou -9. Assim, 

x² - 6x = 9 ou x² - 6x = -9

Resolvendo cada uma das equações:

x² - 6x - 9 = 0
x = −(−6)±(−6)2−4(1)(−9)√2(1)
x = 6±36+36√2
x = 6±72√2
x = 6±62√2
x = 3±32√

ou

x² - 6x + 9 = 0
(x-3)² = 0
x = 3

Portanto, nossa resposta é: S = {3±32√, 3}.

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Vamos esboçar o gráfico da função f(x) = |2x + 6|:

Sabemos que:

→ |2x + 6| = 2x + 6, se 2x + 6 > 0
→ |2x + 6| = -(2x + 6), se 2x + 6 < 0

Então: 

→ |2x + 6| = 2x + 6, se 2x > -6
→ |2x + 6| = -2x - 6, se 2x < -6

E por fim,

→ |2x + 6| = 2x + 6, se x > 3 (gráfico I)
→ |2x + 6| = -2x - 6, se x < -3 (gráfico II)

Gráfico I (Foto: Colégio Qi)

Gráfico II (Foto: Colégio Qi)

Com isso, o gráfico da função f(x) ficará da seguinte forma:

(Foto: Colégio Qi)

Comparação entre o gráfico de f e a função 2x + 6:

(Foto: Colégio Qi)

Repare que ao colocarmos o módulo na função 2x + 6, a parte negativa (x < -3) transformou-se em positiva. É essa a principal mudança quando inserimos o módulo na função: toda a parte negativa torna-se positiva.

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Vamos esboçar o gráfico de g(x) = | x² - 5x + 4|:

De início, o esboço do gráfico sem o módulo: h(x) = x² - 5x + 4:

(Foto: Colégio Qi)

Como já vimos, ao inserir o módulo a parte negativa ficará positiva, então o gráfico de f(x) será:

(Foto: Colégio Qi)

EXERCÍCIOS

(UFJF) O número de soluções negativas da equação | 5x-6 | = x² é:

a) 0  
b) 1  
c) 2  
d) 3  
e) 4

Solução:

Temos então que 5x-6 = x² ou 5x-6 = -x². Assim, temos que resolver cada uma dessas equações:

5x – 6 = x²
x² - 5x + 6 = 0
S = -5 , P = 6
(x-2)(x-3) = 0
x = 2 ou x = 3

5x – 6 = -x²
x² + 5x – 6 = 0
S = 5, P = -6
(x+6)(x-1) = 0
x = -6 ou x = 1

Assim, teremos uma solução negativa: -6.
Resposta: letra B.

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(UTP) As raízes reais da equação |xl² + |x| - 6 = 0 são tais que:

a) a soma delas é – 1.
b) o produto delas é – 6.
c) ambas são positivas.
d) o produto delas é – 4.
e) n.d.a.

Aqui, usamos um recurso muito comum na Matemática, chame |x| de y. Então a equação ficará   y² + y – 6 = 0. Resolvendo-a:

y² + y – 6 = 0
S = 1, P = -6
(y+3)(y-2) = 0
y = -3 ou y = 2

Assim, |x| = -3 ou |x| = 2. Como não existe módulo negativo, |x| = 2. Então, x = -2 ou x = 2. Portanto, seu produto (2 multiplicado por -2) é igual a 4.
Resposta: letra D.

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(UFCE) Sendo f(x) = |x²-2x|, o gráfico que melhor representa f é:

a)

b)

c)

d)

Solução

Repare que a função, sem o módulo, é do segundo grau. Portanto, as letras c e d não podem ser. A diferença entre as alternativas a e b são as raízes, com isso, basta calcularmos:

|x²-2x| = 0
x² - 2x = 0
x (x-2) = 0
x = 0 ou x = 2

Assim, o único gráfico possível é o a. Resposta letra A.

Circulação

DEFINIÇÃO

A circulação humana envolve um sistema fechado, cujo órgão central é o coração, juntamente com o sangue (vasos sanguíneos), veias, artérias e arteríolas. Através do sistema circulatório há o transporte de oxigênio, hormônios e de nutrientes pelo corpo, bem como a eliminação de resíduos tóxicos. 

CORAÇÃO

O coração é um músculo envolvido por membranas: (i) a externa, o pericárdio (ii) interna, o endocárdio e (iii) intermediária, entre o pericárdio e o endocárdio, o miocárdio que é responsável pelas contrações involuntárias do coração, sendo essa fase chamada de sístole e a do relaxamento do músculo é denominada diástole. 

Esse órgão é uma bomba que mantém uma corrente de sangue venoso para o pulmão e de sangue arterial para todo o corpo e é dividido em 4 cavidades: o átrio direito (AD) e esquerdo (AE) (na parte superior) e ventrículo direito (VD) e esquerdo (VE) (na parte inferior). Os átrios comunicam-se com os ventrículos por meio de válvulas, o AD com VD tem-se a válvula tricúspide e no AE com VE a válvula bicúspide ou mitral. 

Essas válvulas abrem durante a sístole e fecham durante a diástole, impedindo o retorno do sangue. Do AD chegam as veias cavas superior e inferior e no AE chegam as quatro veias pulmonares. 

Morfologia do coração e fluxo sanguíneo. Em azul e em vermelho, o sangue que entra e sai do coração. (Foto: Reprodução/Colégio Qi)

BATIMENTOS CARDÍACOS

A contração do coração é involuntária, ou seja, independe do sistema nervoso. As células do miocárdio pulsam, gerando o impulso nervoso que determina o ritmo das contrações, o nó sinoatrial ou marca-passo, que podem ser registrados durante o exame de eletrocardiograma. 

Em pessoas normais em repouso variam de 60 a 100 batimentos por minutos. Quando no adulto em repouso ocorrem alterações nesses batimentos, podem causar as arritmias, como a taquicardia, onde o coração bate mais de 100 vezes por minuto e a bradicardia que bate menos de 60 vezes por minuto.

CIRCULAÇÃO SISTÊMICA E PULMONAR

A circulação sistêmica ou grande circulação é aquela em que o sangue rico em oxigênio sai do VE do coração pela aorta, artéria que se ramifica pelo corpo em artérias menores e mais finas, as arteríolas e os capilares, respectivamente. O sangue oxigenado ou sangue arterial é transportado para todo o corpo, onde ocorrem as trocas gasosas e, esse retorna ao coração rico em gás carbônico (sangue venoso). As veias cava superior e inferior recolhem o sangue venoso, das regiões acima do coração e do resto do corpo, respectivamente, lançando-o diretamente ao AD.  

A circulação pulmonar ou pequena circulação consiste em levar o sangue pobre em oxigênio e rico em gás carbônico aos pulmões e devolve o sangue oxigenado para o coração. O sangue rico em gás carbônico vai do AD para o VD e é bombeado para o pulmão através da artéria pulmonar, que se bifurca em artéria pulmonar direita e esquerda que vão para os respectivos pulmões. 

Nos capilares, que são finos e permitem as trocas dos gases respiratórios, ocorre a hematose, onde o sangue perde gás carbônico e recebe o oxigênio dos alvéolos, transformando-se em sangue arterial, rico em oxigênio, que retorna ao coração pela veia pulmonar pelo AE, reiniciando o trajeto.

A pressão exercida pelo sangue nas paredes arteriais, a pressão arterial, podem ser aferidas. Em indivíduos em repouso e jovens, a pressão máxima que ocorre durante a sístole equivale a 120mmHg e durante a diástole 80mmHg.

EXERCÍCIOS

(Fatec 2013) Os trilhões de células que constituem o corpo humano precisam de água e de variados tipos de nutrientes, além de um suprimento ininterrupto de gás oxigênio. Os nutrientes absorvidos nas células intestinais e o gás oxigênio absorvido nos pulmões são distribuídos às células do corpo pelo sistema cardiovascular, uma vasta rede de vasos sanguíneos, pela qual circula o sangue impulsionado pelo coração. Sobre esse assunto, assinale a alternativa correta. 

a) A artéria pulmonar conduz sangue, rico em oxigênio, do coração para todo o corpo.  
b) As veias pulmonares conduzem o sangue arterial, rico em oxigênio, dos pulmões ao coração.  c) A absorção e distribuição dos nutrientes são facilitadas pela digestão completa do amido no estômago.  
d) Os capilares da circulação sistêmica distribuem o gás carbônico aos tecidos, de onde recebem o gás oxigênio.  
e) A absorção dos nutrientes ocorre nas vilosidades intestinais localizadas na superfície interna do intestino grosso.  

Gabarito: Letra B. As veias pulmonares trazem sangue arterial dos pulmões para o coração e depois para o corpo e distribuído para os tecidos. A artéria pulmonar envia sangue venoso para os pulmões.  A absorção dos nutrientes ocorrem nas vilosidades do intestino delgado, onde o amido, proteínas necessitam ser digeridos antes de serem assimilados.

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Esquema (Foto: Reprodução/Colégio Qi)

(Uftm 2012) O esquema ilustra a circulação humana.

A respeito do esquema e da fisiologia cardiovascular, foram feitas as seguintes afirmações:

I. O átrio esquerdo recebe sangue proveniente dos pulmões por meio das veias pulmonares e o átrio direito recebe sangue proveniente das veias cavas.
II. O sangue presente nos vasos 1 e 2 é rico em oxiemoglobina e nos vasos 3 e 4 existe sangue rico em íons bicarbonato.
III. Todas as veias transportam sangue venoso e todas as artérias transportam sangue arterial.
IV. A sístole do ventrículo esquerdo, apontado pelo número 5, possibilita que o sangue venoso atinja os pulmões.

É correto o que se afirma apenas em
a) I.  
b) I e II.  
c) II e III.  
d) I, III e IV.  
e) II, III e IV.   

Gabarito: Letra B. III é falso porque as veias pulmonares e umbilicais transportam sangue arterial e IV é falsa porque a sístole do ventrículo direito possibilita que o sangue venoso atinja os pulmões.