Equação do 1º Grau

Definição

Um tema de matemática que cai bastante no Enem é a Equação do 1º Grau, que é toda sentença aberta reduzida na forma ax + b = 0 com a diferente de 0.

a ⇒ coeficiente da variável
b ⇒ termo independente
x ⇒ valor desconhecido que muitas vezes, pagamos muito caro para descobrirmos, mas que nos traz uma sensação de dever cumprido inigualável quando encontramos. Então como encontrar esse tal x que está presente no texto acima.

O primeiro passo é entender que uma equação do 1º grau é uma balança com dois pratos em equilíbrio em que cada prato representa um membro da mesma, portanto, tudo o que fazemos de lado da equação devemos fazer do outro para não alterar tal equilíbrio.

Exemplos

1 - Descubra o valor desconhecido em cada um dos breves enigmas.

a) Três números consecutivos somam 369. Determine esses números.
Solução: Como não sabemos que números são esses, vamos escrever de modo genérico tais números. Chamaremos de x, x+1 e x+2.
De acordo com a condição do problema temos x+x+1+x+2=369. Precisamos achar o x, não esquecendo que estamos numa balança em equilíbrio. Daí temos:

x+x+1+x+2=369.

3x+3=369 (precisamos retirar 3 unidades em ambos os membros da equação)

3x+3-3=369-3

3x=366 (precisamos agora dividir por 3  em ambos os membros da equação)
3x/3=366/3

X=122, agora conhecido. Portanto os números são: 122,123 e 124.

b) Qual é o número que adicionado a 5 é igual a sua metade mais 7?
Solução: Chamaremos de x o valor desconhecido. Do enigma vem que x+5=x/2+7. Temos 2 agravantes em relação ao exemplo a). O primeiro deles é que a variável x está presente nos dois membros da equação e o segundo é a presença de fração.

Vamos multiplicar em ambos os membros da equação acima por 2 para eliminar o denominador 2.

2(x+5)=2(x/2+7), (aplicando a propriedade distributiva temos):
2x+10=x+14, (subtraindo x em ambos os lados temos):
2x-x+10=x-x+14, (fazendo as operações devidas temos):
X+10=14, (subtraindo 10 em ambos os lados temos):
X+10-10=14-10, (fazendo as operações devidas temos):
X=4, resposta final.

Discussão da Equação do 1º Grau

É uma apreciação da variação da natureza das suas raízes à medida que se atribuem diferentes valores por particulares às quantidades constantes representadas por letras (parâmetros).

FORMA NORMAL = ax + b = 0.

1º Caso: a ≠ 0; b qualquer, ax = b => a equação será determinada; admite uma única solução.
 X = ba

2º Caso: a = 0; b ≠ 0, então 0x = b => a equação será impossível; não admite solução.
 X = b0

3º Caso: a = 0; b = 0, então 0x = 0 => a equação é indeterminada (identidade); admite várias soluções.
 X = 00 

Exercícios

1 - Determine o valor de m na equação (m-5)x=2013, para que a equação não admita solução.
Solução: Devemos fazer uma discussão da equação. Como 2013 é diferente de 0, para que a equação não possua solução m-5=0, logo m=5.

2 - (Unicamp-SP) Roberto disse a Amanda: “Pense em um número, dobre esse número, some 12 ao resultado, divida o novo resultado por 2. Quanto deu?” Amanda disse: “15”. Roberto imediatamente revelou o número original em que Amanda havia pensado. Calcule esse número.

Solução:
2x+12 = 2.15
2x = 18
x = 9

Conjuntos Numéricos

Números Naturais:

Iniciando a aula o professor pode começar a revisão dos conjuntos numéricos questionando os alunos sobre os elementos que formam o Conjunto dos Naturais, apresentando em seguida as letras que representam esse conjunto e seus subconjuntos (N, N*).
O professor pode apresentar ainda a representação desse conjunto em linguagem matemática:
N = {0, 1, 2, 3, ...}

Para explicar o surgimento desse conjunto pode se usar o exemplo da contagem de animais pelos povos antigos.

Outro exemplo que pode ser utilizado é a contagem dos alunos da turma, fazendo também uma relação com os elementos (alunos) e o conjunto (classe).

Números Inteiros

Dando sequência a aula pode iniciar-se a revisão do conjunto dos Inteiros. Da mesma forma que procedeu com os naturais o professor pode pedir aos alunos que recordem quais são os números inteiros (acrescentando aos naturais os números negativos) e pedindo que representem em linguagem simbólica.

Para destacar o surgimento dos negativos o professor pode citar a necessidade dos antigos comerciantes em controlar a entrada e saída de produtos e dinheiro.

Outros exemplos que podem ser trabalhados são os que se referem à temperatura e cálculos financeiros.



Nesse momento o professor já poderá dar destaque a representação dos conjuntos por diagramas.

Números Racionais:

Finalizando a revisão dos conjuntos já estudados o professor pode abordar o estudo dos Racionais utilizando a representação em linguagem Matemática, em diagramas e abordando o estudo de frações, destacando o fato de o Conjunto dos Racionais ser formado pelos números que podem ser escritos em forma de Fração.

Números Reais:

Para iniciar o trabalho com os números Reais, o professor poderá apresentar exemplos de números Irracionais, entre os quais devem estar as raízes inexatas e os decimais não-exatos e não-periódicos. Ex: 1,23569846...; .

DICA: Nesse momento pode ser feito um estudo mais aprofundado dos números irracionais, apresentando ainda o número pi ( ). Assim os alunos poderão compreender que o conjunto dos Reais consiste da união entre os números Racionais e Irracionais. Outra característica do conjunto dos Reais que deve ser abordada é o fato de esse ser um conjunto denso, ou seja, se tomarmos dos números reais quaisquer sempre existiram entre esses outros infinitos números.




Atividade “Bingo dos Conjuntos”

Para complementar os conceitos de inclusão dos Conjuntos Numéricos estudados e avaliar a compreensão dos alunos em relação a esse conteúdo o professor poderá aplicar a atividade a seguir.

Materiais
- Fichas para marcação conforme modelo abaixo (uma para cada aluno);





Obs: A posição das bolas a serem preenchidas deverá ser diferente em cada tabela.



- Fichas para sorteio com números diversos;

 algumas vídeo aula pra ajudar .